所谓，空集定理，就是：

　　空集公理：存在一个不含任何元素的集合，即，

　　?X?u(u ? X)

　　根据 ZFC 公理体系中的，

　　(1) 外延公理（Axiom of Extensionality)：如果 X 和 Y 拥有相同的 元素，则 X 与 Y 相等，即，

　　?u(u ∈ X ? u ∈ X) → X = Y

　　我们可确定 所有 空集合 都相等，也就是说 空集 唯一，我们将这个唯一的空集 记为 ?。

　　为什么说，空集公理 是 空集定理 呢？因为 它可以 从

　　存在公理：存在一个集合，即，?X(X = X)

　　推导出来。

　　利用 ZFC 公理体系中的，

　　(3) 分离公理模式（Axiom Schema of Separation）： 如果 P 是一个 属性，则 对于任意 X 都存在 集合 Y 包含 所有 具有 属性 P 的 X 的元素，即，

　　?X?Y?u(u ∈ Y ? u ∈ X ∧ P(u))

　　令，Y = {u ∈ X : P(u)}。

　　只需要令，P(x) := x ≠ x，其中 x ≠ x ? ?(x = x)，“=” 来自 外延公理，则：

　　? = {u ∈ X : u ≠ u}

　　首先，存在公理 确保了 X 的存在，其次 在 外延公理 下 所有 u 一定等于 自己，和自己不相等的 u 不存在，于是 u ≠ u 是永假的，故，? 不可能 含有任意元素，即，? 满足 空集公理。

　　反过来，空集公理 确定了 空集 ? 的存在，根据 外延公理 有， ??(? = ?) ，这就推导出来了，存在公理。

　　所以说： 空集公理 与 存在公理 在 ZFC 公理体系中 等价，二者定义其一即可！

　　佛曰：空既是色，色即是空；

　　道曰：有无相生，此两者同出而异名，同谓之玄！

　　ZFC公理系统并没有直接包含，空集公理（或 存在公理），而是作为

　　(6) 无限公理（Axiom of Infinity）：无限集合存在。

　　的一部分，而引入 ZFC 的。

　　具体来说：

　　要定义无限集合 S，就先要有一个有限集合，无疑 空集 ? 是最好的选择，规定：

　　然后，利用 ZFC公理系统 中的，

　　(2) 结对公理（Axiom of Pairing）：对于任意 a 和 b 都存在 集合 {a， b} 恰好包括 a 和 b，即，

　　?a?b?c?x(x ∈ c ? x = a ∨ x = b)

　　根据 外延公理， c 是唯一的，称为 无序对，记为，c = {a， b}，特别地， x 和 自己 的 无序对 是 单元素集 {x}。

　　(3) 并公理（Axiom of Union)：任何集合 X 中所有的元素的并集 Y = ∪X 都存在，即，

　　?X?Y?u(u ∈ Y ? ?z(z ∈ X ∧ u ∈ z))

　　令，Y = {u : ?z(z ∈ X ∧ u ∈ z) } = ∪{z : z ∈ X } = ∪X。

　　可以定义 集合 a, b 的 并运算：

　　a ∪ b = ∪{a, b}

　　再根据 并运算，定义 集合 x 的后继运算：

　　x? = x ∪ {x}

　　接着，规定：

　　称 同时满足 以上 两个 规定 的 集合 S 为 归纳集。

　　显然，归纳集 是 无限集合，于是，无穷公理 就改写为：存在一个归纳集，即，

　　?S(? ∈ S ∧ ?x(x ∈ S → x? ∈ S))

　　这样，? 是 归纳集 的第一个元素，无穷公理 已经就蕴含了 空集公理（或 存在公理）。[这里也就回答了题主的问题]

　　无限公理 仅仅是 保证了 归纳集 的 存在性，我们并不能确定 归纳集 唯一，事实上，存在无限多个归纳集。

　　令，

　　φ(x) = x 是归纳集

　　根据 分离公理模式，我们定义：

　　ω = {x ∈ S : ?A(φ(A) → x ∈ A)}

　　称 这个最小的 归纳集 ω 为 自然数集。

　　（以下是小石头夹带的私货，不喜勿入！）

　　在集合论发展之初，原本只有两个条公理，除了 (1) 外延公理 外，就是：

　　(伪2) 推导公理模式（Axiom Schema of Comprehension)：对于任何 属性 P 都存在 集合 Y = {x : P(x)}。

　　(伪2) 和 (1) 分别对应 哲学中 一个概念 的 内涵 和 外延。

　　本来一切都很美好，直到 罗素发现了，罗素悖论：

　　Y = {X : X ? X}

　　这里的 Y 显然 不是一个 集合。

　　罗素悖论的通俗版就是 理发师悖论：

　　一位理发师声称：“我只为不给自己刮脸的人刮脸！” ，那么 他能不能给他自己刮脸呢？

　　如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸；如果他给自己刮脸，他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸！

　　他给不给自己刮脸都会产生矛盾！

　　于是，数理逻辑学家 不得不 用 ZFC 公理中的 (2) - (9) 替换 (伪2)，这才产生了今天的《公理集合论》。

　　另一方面，值得注意的是：

　　(伪2) 中 的 Y 作为以 P 为内涵的 概念是 实实在在存在，我们不能否认，只不过 Y 不一定 是 集合（set），我们称之为 类（class），并 将 (伪2) 改为：

　　(0) 概括原则：对于任何 P 都存在 类 Y = {x : P(x)}

　　这个 (0) 作为 类的定义 被 《公理集合论》采用，但 不算是 ZFC 公理，这有点灰色地带的意味！

　　公理1~8组成了ZF集合论公理系统，即著名的ZF公理体系。9作为与前8个独立的公理，在数学分析中经常用到。

　　公理1，2可以推出任何集合X有空子集，且空集唯一。

　　通过公理3，可以定义有序对（X,Y）：={{X,X}，{X,Y}}。

　　公理1~5可以限制新集合形成的可能，从而消除罗素悖论中的集合(存在集合A满足A不包含于自己)。

　　公理6，连同1~4，按照冯诺依曼的提出（根据皮亚诺公理系统对自然数的描述）可以建立自然书数集N0的标准模型。

　　公理7在建立分析学时并不使用之。